مباحثی درحلقه های خوش ترکیب

در این نگارش، سعی بر این شده است که به مباحث اساسی و بنیادی در زمینه ی حلقه های خوش ترکیب پرداخته شود. حلقه ی خوش ترکیب که نخستین بار در سال 1977 توسط دبلیو.کیت.نیکلسون معرفی شد عبارت است از حلقه ای که بتوان هر عضو آن را به صورت مجموع یک عضو خودتوان و یک عضو یکال بیان نمود. دراین پژوهش به بررسی خواص حلقه های خوش ترکیب در سه حوزه ی حلقه های تعویضپذیر، حلقه های تعویض ناپذیر و حلقه های عمومی(حلقه ی نه لزوماً یکدار) پرداخته ایم. بررسی ها را در حوزه ی حلقه های تعویضپذیر با محوریّت حلقه های خوش ترکیب، حلقه های یکتا خوش ترکیب، حلقه های ضعیف خوش ترکیب و حلقه های تقریباً خوش ترکیب پیش برده ایم. درقلمروی حلقه های تعویض ناپذیر علاوه بر بررسی حلقه های خوش ترکیب، به شناسایی ویژگی های حلقه های یکتا خوش ترکیب، حلقه های به طور قوی خوش ترکیب، حلقه های پوچ خوش ترکیب و به طور قوی پوچ خوش ترکیب و نیز عملگرهای خطی شمارش پذیر و خاصیت خوش ترکیبی آن ها پرداخته ایم. در زمینه ی حلقه های عمومی نیز حلقه های خوش ترکیب و یکتا خوش ترکیب را بررسی کرده ایم. در بخش پایانی با استفاده از ایده ای که توسط پروفسور امیدعلی شهنی کرم زاده مطرح شد، دسته ی جدیدی ازحلقه ها راتحت عنوان حلقه های زیبا معرفی نموده ایم. حلقه ی زیبا عبارت است از حلقه ای که هر عضو غیرصفرآن به صورت مجموع یک عضو مقسوم علیه صفر و یک عضو منظم قابل بیان باشد. نشان داده ایم که اگر r یک حلقه ی تعویضپذیر زیبا باشد، آن گاه حلقه ی ماتریس های n*n روی r نیز زیبا است. همچنین اثبات کرده ایم که حلقه ی ماتریس های n*n روی یک حلقه ی تقسیم، یک حلقه ی زیبای چپ است و نیز یک حلقه ی آرتینی دوطرفه، زیبای چپ است اگر و فقط اگر با حاصل ضرب مستقیم متناهی از حلقه های تقسیم یکریخت باشد.